「1≠2
かつ1=2
ならば、P≠NPが証明できる」みたいな話*1。
「矛盾(A∧¬A
)からは何でも導ける(A∧¬A⇒B
)」「あれ、A∧¬A⇔F
だから、F⇒B
となって、F⇒B
全体は真だけど、B
が真とは限らないのでは?」みたいな話になって混乱したのでメモ。
まとめ
A
より、A∨B
は真。¬A
とA∨B
より、B
。
詳細
∧
: かつ、∨
: または、¬
: 否定、⇒
: ならば、⇔
: 同値、T
: 真、F
: 偽。
A∧¬A
が真ならば、∧
の定義から、A
も¬A
も真となるA
が真なので、A∨B
は真となる¬A
が真であり、↑で示した通りA∨B
も真となる。A∨B
が真で(¬A
より)A
が偽なので、B
が真となるしかない
A
は真なの?偽なの?と思ってしまうが、それが矛盾なので仕方がない。仮定と既に示したことは以降の証明で使えるので、A
も¬A
も好きなときに使える。
F⇒B
が真というのは、⇒
の定義。これは正しい。一方で、A∧¬A
が真となるような体系は普通は考えない。何でも示せてしまってつまらないから? 何とかして扱ってみようという面白そうな話もあるらしい。
*1:1=2から、P=NPらしい。1=2 - アンサイクロペディア