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論理学で矛盾からは任意の命題が導出できることの証明

1≠2かつ1=2ならば、P≠NPが証明できる」みたいな話*1

「矛盾(A∧¬A)からは何でも導ける(A∧¬A⇒B)」「あれ、A∧¬A⇔Fだから、F⇒Bとなって、F⇒B全体は真だけど、Bが真とは限らないのでは?」みたいな話になって混乱したのでメモ。

まとめ

Aより、A∨Bは真。¬AA∨Bより、B

詳細

: かつ、: または、: 否定、: ならば、: 同値、T: 真、F: 偽。

  1. A∧¬Aが真ならば、の定義から、A¬Aも真となる
  2. Aが真なので、A∨Bは真となる
  3. ¬Aが真であり、↑で示した通りA∨Bも真となる。A∨Bが真で(¬Aより)Aが偽なので、Bが真となるしかない

Aは真なの?偽なの?と思ってしまうが、それが矛盾なので仕方がない。仮定と既に示したことは以降の証明で使えるので、A¬Aも好きなときに使える。

F⇒Bが真というのは、の定義。これは正しい。一方で、A∧¬Aが真となるような体系は普通は考えない。何でも示せてしまってつまらないから? 何とかして扱ってみようという面白そうな話もあるらしい。

矛盾許容論理 - Wikipedia

*1:1=2から、P=NPらしい。1=2 - アンサイクロペディア